某機(jī)器人從坐標(biāo)原點(diǎn)O出發(fā),在直角坐標(biāo)平面xOy的第一象限,x軸正半軸及y軸正半軸的范圍之內(nèi)運(yùn)動(dòng),該機(jī)器人在x軸正半軸上的運(yùn)動(dòng)速度是2m/s,在平面其他地方運(yùn)動(dòng)速度是1m/s,該機(jī)器人從原點(diǎn)O出發(fā),在1s內(nèi)能到達(dá)的點(diǎn)的集合形成的圖形記為G,將G的邊界位于第一象限的部分記為C

  (1)求曲線C的軌跡方程;

  (2)求圖形G的面積.

答案:
解析:

(1)設(shè)1s內(nèi)機(jī)器人到達(dá)點(diǎn)M(xy)

  設(shè)機(jī)器人先在x軸上運(yùn)動(dòng)了am(0≤a≤2),到達(dá)點(diǎn)P(a,0),則在線段PM上運(yùn)動(dòng)了s,所以|MP|=,得

  (0≤x≤2,y>0),將其看成關(guān)于a的二次函數(shù)

 、偃0≤≤2,即x≤2

  當(dāng)時(shí),

 、谌0≤x,即(2x-1)≤0

  當(dāng)a=0時(shí),ymax=

圖8-6

  綜上得曲線C的軌跡方程

  (2)如圖8-6所示,圖形G的面積

  SG=SBOT+S扇形AOT=m2


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(2013•靜安區(qū)一模)機(jī)器人“海寶”在某圓形區(qū)域表演“按指令行走”.如圖所示,“海寶”從圓心O出發(fā),先沿北偏西arcsin
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方向行走13米至點(diǎn)A處,再沿正南方向行走14米至點(diǎn)B處,最后沿正東方向行走至點(diǎn)C處,點(diǎn)B、C都在圓O上.則在以圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn),正東方向?yàn)閤軸正方向,正北方向?yàn)閥軸正方向的直角坐標(biāo)系中圓O的方程為
x2+y2=225
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機(jī)器人“海寶”在某圓形區(qū)域表演“按指令行走”.如圖所示,“海寶”從圓心O出發(fā),先沿北偏西arcsin方向行走13米至點(diǎn)A處,再沿正南方向行走14米至點(diǎn)B處,最后沿正東方向行走至點(diǎn)C處,點(diǎn)B、C都在圓O上.則在以圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn),正東方向?yàn)閤軸正方向,正北方向?yàn)閥軸正方向的直角坐標(biāo)系中圓O的方程為   

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機(jī)器人“海寶”在某圓形區(qū)域表演“按指令行走”.如圖所示,“海寶”從圓心O出發(fā),先沿北偏西arcsin方向行走13米至點(diǎn)A處,再沿正南方向行走14米至點(diǎn)B處,最后沿正東方向行走至點(diǎn)C處,點(diǎn)B、C都在圓O上.則在以圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn),正東方向?yàn)閤軸正方向,正北方向?yàn)閥軸正方向的直角坐標(biāo)系中圓O的方程為   

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