Question

5．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左頂點為A（-3，0），左焦點恰為圓x²+2x+y²+m=0（m∈R）的圓心M．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點A且與圓M相切于點B的直線，交橢圓C于點P，P與橢圓C右焦點的連線交橢圓于Q，若三點B，M，Q共線，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）圓M方程變形找出M坐標，確定出c的值，由頂點A坐標確定出a的值，進而求出b的值，即可確定出橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)AP方程為x=ty-3（t≠0），代入橢圓方程，消去x表示出P的縱坐標，進而表示出橫坐標，再表示出Q坐標，根據(jù)B，M，Q三點共線，得到MQ與AP垂直，即直線MQ與直線AP斜率乘積為-1，求出t的值，確定出直線AP方程，進而求出m的值．

解答 解：（Ⅰ）圓M方程變形得：（x+1）²+y²=1-m，即M（-1，0），
∴c=1，
∵頂點A（-3，0），∴a=3，
∴b²=a²-c²=9-1=8，
則橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1；
（Ⅱ）設(shè)AP方程為x=ty-3（t≠0），代入橢圓方程得：（8t²+9）y²-48ty=0，
解得：y_A=0，y_P=$\frac{48t}{8{t}^{2}+9}$，
∴x_P=ty_P-3=$\frac{24{t}^{2}-27}{8{t}^{2}+9}$，
∵右焦點坐標為（1，0），
∴PQ方程為x=$\frac{4{t}^{2}-9}{12t}$y+1，代入橢圓方程得：$\frac{（8{t}^{2}+9）（2{t}^{2}+9）}{18{t}^{2}}$y²+$\frac{16{t}^{2}-36}{3t}$y-64=0，
∴y_Py_Q=$\frac{-64×18{t}^{2}}{（8{t}^{2}+9）（2{t}^{2}+9）}$，即y_Q=$\frac{-24t}{2{t}^{2}+9}$，
∴x_Q=$\frac{4{t}^{2}-9}{12t}$y_Q+1=$\frac{27-6{t}^{2}}{2{t}^{2}+9}$，
由B，M，Q三點共線，可得MQ⊥AP，即k_MQ•k_AP=-1，
∴$\frac{-6t}{t（9-{t}^{2}）}$=-1，
解得：t=±$\sqrt{3}$，
∴直線AP方程為x=±$\sqrt{3}$y-3，
則圓心M到AP的距離為1，即圓半徑為$\sqrt{1-m}$=1，
則m=0．

點評 此題考查了直線與圓錐曲線方程，以及橢圓的標準方程，熟練掌握橢圓的性質(zhì)是解本題第一問的關(guān)鍵．