Question

對任意兩個非零的平面向量

α

和

β

，定義

α

o

β

=

α • β

β • β

，若平面向量

a

、

b

滿足|

a

|≥|

b

|＞0，

a

與

b

的夾角θ∈[0，

π

4

]，且

a

o

b

和

b

o

a

都在集合{

n

m

|m∈Z，n∈Z}中．給出下列命題：
①若m=1時，則

a

o

b

=

b

o

a

=1．
②若m=2時，則

a

o

b

=

1

2

．
③若m=3時，則

a

o

b

的取值個數(shù)最多為7．
④若m=2014時，則

a

o

b

的取值個數(shù)最多為

20142

2

．
其中正確的命題序號是

 

（把所有正確命題的序號都填上）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,簡易邏輯

分析：由新定義可知

a

o

b

=

a • b

b2

=

| a |cosθ

| b |

，

b

o

a

=

b • a

a 2

=

| b |cosθ

| a |

，再對每個命題進行判斷，即可得出結(jié)論．

解答： 解：①

a

o

b

=

a • b

b2

=

| a |cosθ

| b |

，

b

o

a

=

b • a

a 2

=

| b |cosθ

| a |

，則

a

o

b

=

b

o

a

，可得|

a

|=|

b

|，∴

a

o

b

=

b

o

a

=cosθ，∵m=1，θ∈[0，

π

4

]，∴

a

o

b

=

b

o

a

=1，正確；
②若m=2時，則

a

o

b

=

a • b

b2

=

| a |cosθ

| b |

=

n

2

，同理

b

o

a

=

| b |cosθ

| a |

=

n′

2

，相乘得到cos2θ=

nn′

4

，∵θ∈[0，

π

4

]，
∴

1

2

≤cos2θ≤1，∴

1

2

≤

nn′

4

≤1，∴n=1，n′=2或n=2，n′=2，∴

a

o

b

=

1

2

或1，故不正確．
③若m=3時，則

a

o

b

=

a • b

b2

=

| a |cosθ

| b |

=

n

3

，同理

b

o

a

=

| b |cosθ

| a |

=

n′

3

，相乘得到cos2θ=

nn′

9

，∵θ∈[0，

π

4

]，
∴

1

2

≤cos2θ≤1，∴

1

2

≤

nn′

9

≤1，∴n=1，n′=5，6，7，n=2，n′=3，4，5，6，7，n=3，n′=2，3，4，5，6，7，n=4，n′=2，3，4，5，6，7，n=5，6，6，n′=1，2，3，4，5，6，7，∴

a

o

b

的取值個數(shù)最多為7，正確．
④若m=2014時，由③的推導方法可知

a

o

b

的取值個數(shù)最多為

20142

2

，正確．
故答案為：①③④．

點評：本題考查命題真假的判斷，考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，有難度．