Question

已知

a

=（1，2），

b

=（2，1）．
（1）求向量

a

在向量

b

方向上的投影．
（2）若（m

a

+n

b

）⊥（

a

-

b

）（m，n∈R），求m²+n²+2m的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）求出向量a，b的數(shù)量積和向量b的模，再由投影定義，即可得到所求；
（2）運(yùn)用向量垂直的條件及向量的數(shù)量積和模的公式，化簡得到m=n，再由二次函數(shù)的最值，即可得到．

解答： 解：（1）設(shè)

a

與向量

b

的夾角為θ，
由題意知向量

a

在向量

b

方向上的投影為
|

a

|cosθ=

a • b

| b |

=

1×2+2×1

5

=

4 5

5

；
（2）∵（m

a

+n

b

）⊥（

a

-

b

），
（m

a

+n

b

）•（

a

-

b

）=0，
即5m+4n-4m-5n=0，∴m=n．
∴m²+n²+2m=2m²+2m=2（m+

1

2

）²-

1

2

≥-

1

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)m=n=-

1

2

時(shí)取等號(hào)，
∴m²+n²+2m的最小值為-

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量的模及投影的定義，考查向量垂直的條件，同時(shí)考查二次函數(shù)的最值，屬于中檔題．