已知函數(shù)，其中是實(shí)數(shù)，設(shè)為該函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，且.
⑴指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
⑵若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線互相垂直，且，求的最小值；
⑶若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線重合，求的取值范圍.

(1)單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為;（2）1；（3）．

解析試題分析：（1）根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)知，分段函數(shù)在時(shí)是二次函數(shù)的一部分，有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間：增區(qū)間，減區(qū)間，時(shí)是對數(shù)函數(shù)，只有一個(gè)單調(diào)增區(qū)間；（2）對函數(shù)圖象來講，它在某點(diǎn)處的切線斜率等于該函數(shù)在此點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，故有，由于，兩點(diǎn)在軸的左邊，，因此有，顯然有，可以表示為關(guān)于的函數(shù)，從而求出最小值（，應(yīng)用基本不等式即可得解）也可以直接湊配出基本不等式的形式，＝利用基本不等式）；（3）這里我們首先分析所處范圍，結(jié)合圖象易知不可能在同一單調(diào)區(qū)間，只能是，那么我們可得出兩點(diǎn)處的切線方程分別為，，兩條切線相同，則有，于是可把表示為（或者）的函數(shù)，把求匠范圍轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域．
試題解析：（1）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為4分
（2），
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/8d/2/a20io.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.8分

∴
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
∴的最小值為1.10分
（3）當(dāng)或時(shí)，，故
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)的切線方程為

即
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在切線方程為
兩切線重合的充要條件是13分
由①及知
由①②得
又，與在都為減函數(shù).
∴16分
考點(diǎn)：（1）單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)圖象的切線及基本不等式；（3）切線與函數(shù)的值域．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=x3+ax-2,(aR).
(l)若f(x)在區(qū)間(1,+)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若，且f(x0)=3，求x0的值；
(3)若，且在R上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

是定義在上的函數(shù)
（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：是其定義域上的增函數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知且，函數(shù)，，記．
（Ⅰ）求函數(shù)的定義域及其零點(diǎn)；
（Ⅱ）若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)僅有一解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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已知函數(shù)是奇函數(shù)，且.
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義加以證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

湖南省環(huán)保研究所對長沙市中心每天環(huán)境放射性污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)與時(shí)刻x的關(guān)系為，其中a是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且，若用每天的最大值作為當(dāng)天的綜合放射性污染指數(shù)，并記作.
(Ⅰ)令，求t的取值范圍；
(Ⅱ)省政府規(guī)定，每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過2，試問目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)是否超標(biāo)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，。
（1）求的函數(shù)解析式，并用分段函數(shù)的形式給出；
（2）作出函數(shù)的簡圖；
（3）寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù)是定義域?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/1f/5/k7j2i1.png" style="vertical-align:middle;" />的奇函數(shù)．
(1)求的值；
(2)若，且在上的最小值為，求的值.
(3)若，試討論函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面（如圖所示）上進(jìn)行開發(fā)建設(shè)，陰影部分為一公共設(shè)施建設(shè)不能開發(fā)，且要求用欄柵隔開（欄柵要求在一直線上），公共設(shè)施邊界為曲線的一部分，欄柵與矩形區(qū)域的邊界交于點(diǎn)，交曲線于點(diǎn)，設(shè)．

（1）將△（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積表示成的函數(shù)；
（2）若在處，取得最小值，求此時(shí)的值及的最小值．

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