Question

10．在△ABC中，已知$\frac{tanA-tanB}{tanA+tanB}$=$\frac{c-b}{c}$，求A的值．

Answer 1

分析 已知等式左邊利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，右邊利用正弦定理化簡(jiǎn)，根據(jù)sin（A+B）=sinC，得到sinB=sin（A+B）-sin（A-B），整理求出cosA的值，即可確定出A的度數(shù)．

解答 解：在△ABC中，$\frac{tanA-tanB}{tanA+tanB}$=$\frac{c-b}{c}$，
整理得：$\frac{\frac{sinA}{cosA}-\frac{sinB}{cosB}}{\frac{sinA}{cosA}+\frac{sinB}{cosB}}$=$\frac{sinAcosB-cosAsinB}{sinAcosB+cosAsinB}$=$\frac{sin（A-B）}{sin（A+B）}$，$\frac{c-b}{c}$=$\frac{sinC-sinB}{sinC}$，
∴$\frac{sin（A-B）}{sin（A+B）}$=$\frac{sinC-sinB}{sinC}$，
∵sin（A+B）=sinC，
∴sin（A-B）=sinC-sinB=sin[π-（A+B）]-sinB=sin（A+B）-sinB，
整理得：sinB=sin（A+B）-sin（A-B）=sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB，
∵sinB≠0，∴cosA=$\frac{1}{2}$，
則A=$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．