【題目】設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).
(1)若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求的最大值和最小值;
(2)設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),且為銳角(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線的斜率的取值范圍.
【答案】(1) ;(2).
【解析】
(1)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),向量坐標(biāo)化得到的表達(dá)式,進(jìn)而得到最值;(2)為銳角即,設(shè)出點(diǎn)AB的坐標(biāo),向量坐標(biāo)化得到點(diǎn)積的表達(dá)式為:x1x2+y1y2,聯(lián)立直線和橢圓方程,由韋達(dá)定理得到結(jié)果.
(1)由已知得,F1(-,0),F2(,0),設(shè)點(diǎn)P(x,y),
則+y2=1,且-2≤x≤2.
所以·=(--x,-y)·(-x,-y)=x2-3+y2=x2-3+1-=x2-2,
當(dāng)x=0,即P(0,±1)時(shí),(·)min=-2;
當(dāng)x=±2,即P(±2,0)時(shí),(·)max=1.
(2)由題意可知,過(guò)點(diǎn)M(0,2)的直線l的斜率存在.
設(shè)l的方程為y=kx+2,
由消去y,化簡(jiǎn)整理得
(1+4k2)x2+16kx+12=0,Δ=(16k)2-48(1+4k2)>0,解得k2>.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2=,
又∠AOB為銳角,所以·>0,即x1x2+y1y2>0,
有x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4
=(1+k2)·+2k·+4>0,解得k2<4,
所以<k2<4,即k∈.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線C關(guān)于軸對(duì)稱,頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),且經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2) 過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn).是否存在定直線,使得l上任意點(diǎn)P與點(diǎn)M,Q,N所成直線的斜率,,成等差數(shù)列.若存在,求出直線l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義函數(shù),(0,)為型函數(shù),共中.
(1)若是型函數(shù),求函數(shù)的值域;
(2)若是型函數(shù),求函數(shù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù);
(3)若是型函數(shù),在上有三點(diǎn)A、B、C橫坐標(biāo)分別為、、,其中<<,試判斷直線AB的斜率與直線BC的斜率的大小并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面是正方形,且,平面 平面,,點(diǎn)為線段的中點(diǎn),點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面 平面;
(Ⅱ)設(shè)二面角的平面角為,試判斷在線段上是否存在這樣的點(diǎn),使得,若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是某手機(jī)商城2018年華為、蘋果、三星三種品牌的手機(jī)各季度銷量的百分比堆積圖(如:第三季度華為銷量約占,三星銷量約占,蘋果銷量約占),根據(jù)該圖,以下結(jié)論中一定正確的是( )
A. 四個(gè)季度中,每季度三星和蘋果總銷量之和均不低于華為的銷量
B. 蘋果第二季度的銷量小于第三季度的銷量
C. 第一季度銷量最大的為三星,銷量最小的為蘋果
D. 華為的全年銷量最大
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了解學(xué)生的體質(zhì)健康狀況,對(duì)高一、高二兩個(gè)年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行了體質(zhì)測(cè)試.現(xiàn)從兩個(gè)年級(jí)學(xué)生中各隨機(jī)選取20人,將他們的測(cè)試數(shù)據(jù),用莖葉圖表示如圖:《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》的等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)如表.規(guī)定:測(cè)試數(shù)據(jù)≥60,體質(zhì)健康為合格.
等級(jí) | 優(yōu)秀 | 良好 | 及格 | 不及格 |
測(cè)試數(shù)據(jù) |
(Ⅰ)從該校高二年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)選取一名學(xué)生,試估計(jì)這名學(xué)生體質(zhì)健康合格的概率;
(Ⅱ)從兩個(gè)年級(jí)等級(jí)為優(yōu)秀的樣本中各隨機(jī)選取一名學(xué)生,求選取的兩名學(xué)生的測(cè)試數(shù)據(jù)平均數(shù)大于95的概率;
(Ⅲ)設(shè)該校高一學(xué)生測(cè)試數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為,高二學(xué)生測(cè)試數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為,試估計(jì)、的大小.(只需寫出結(jié)論)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若曲線在點(diǎn)處的切線與x軸平行,求a的值;
(Ⅱ)若在處取得極大值,求a的取值范圍;
(Ⅲ)當(dāng)a=2時(shí),若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn),求m的取值范圍.(只需寫出結(jié)論)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)l為曲線C:在點(diǎn)處的切線.
(1)求l的方程;
(2)證明:除切點(diǎn)之外,曲線C在直線l的下方;
(3)求證:(其中,).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F的動(dòng)直線l與拋物線C交于M,N兩點(diǎn),且當(dāng)直線l的傾斜角為時(shí),.
(1)求拋物線C的方程.
(2)點(diǎn),證明:直線PM,PN關(guān)于x軸對(duì)稱.
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