Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=

1

5

，a_n+a_n+1=

6

5n+1

（n∈N₊）
（1）證明：{5ⁿa_n-1}是常數(shù)列；
（2）設(shè)x_n=（2n-1）•10ⁿa_n，求{x_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)結(jié)論對(duì)遞推公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合a₁的值進(jìn)行證明；
（2）由（1）求出通項(xiàng)a_n，代入x_n=（2n-1）•10ⁿa_n化簡(jiǎn)后，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和T_n．

解答： （1）證明：由a_n+a_n+1=

6

5n+1

（n∈N₊）得，
5n+1an+1+5n+1an=6，即5n+1an+1+5•5nan=6，
∴5n+1an+1-1=-5•5nan+5=-5（5ⁿa_n-1），
又a₁=

1

5

，∴5a₁-1=0，
∴{5ⁿa_n-1}是常數(shù)列；
（2）解：由（1）得5ⁿa_n-1=0，即a_n=

1

5n

，
∴x_n=（2n-1）•10ⁿa_n=x_n=（2n-1）•10ⁿ•

1

5n

=（2n-1）•2ⁿ，
∴T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ
2T_n=1×2²+3×2³+5×2⁴+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得，-T_n=2+（2²+2³+2⁴+…2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-(2n-1)•2n+1=-（2n-2）•2ⁿ⁺¹-2
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推公式的變形及化簡(jiǎn)，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查了化簡(jiǎn)能力．