Question

19．已知數(shù)列{2^n-1•a_n}的前n項(xiàng)和S_n=1-$\frac{n}{2}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{|{a}_{n}|}{n}$，求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）設(shè)b_n=2^n-1•a_n，由$_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，利用數(shù)列{2^n-1•a_n}的前n項(xiàng)和S_n=1-$\frac{n}{2}$，能求出b_n，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由已知得到b_n=$\frac{1}{n•{2}^{n}}$，n∈N^*，從而$\frac{1}{^{n}}$=n•2ⁿ，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）設(shè)b_n=2^n-1•a_n，
∵數(shù)列{2^n-1•a_n}的前n項(xiàng)和S_n=1-$\frac{n}{2}$，
∴b₁=S₁=1-$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
n≥2時(shí)，$_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=（1-\frac{n}{2}）-（1-\frac{n-1}{2}）$=-$\frac{1}{2}$，
∴2^1-1a₁=b₁=$\frac{1}{2}$，∴a₁=$\frac{1}{2}$，
n≥2時(shí)，2^n-1a_n=-$\frac{1}{2}$，∴a_n=-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
n=1時(shí)，-$\frac{1}{{2}^{n}}$=-$\frac{1}{2}$≠a₁，
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，n=1}\\{-\frac{1}{{2}^{n}}，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）∵b_n=$\frac{|{a}_{n}|}{n}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，n=1}\\{\frac{1}{n•{2}^{n}}，n≥2}\end{array}\right.$=$\frac{1}{n•{2}^{n}}$，n∈N^*，
∴$\frac{1}{^{n}}$=n•2ⁿ，
∴數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}的前n項(xiàng)和：
S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，①
2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n×2ⁿ⁺¹=-2+2ⁿ⁺¹-n×2ⁿ⁺¹，
∴S_n=2+（n-1）×2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)痊相減法的合理運(yùn)用．