Question

【題目】已知圓，直線過點(diǎn)且與圓相切 .

（I）求直線的方程；

（II）如圖，圓與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是圓上異于的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)且與軸垂直的直線為，直線交直線于點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，求證：以為直徑的圓與軸交于定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo) .

Answer 1

【答案】（1）.

（2）證明見解析；定點(diǎn)或.

【解析】

（1）由已知中直線過點(diǎn)，我們可以設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，化為一般式方程后，代入點(diǎn)到直線距離公式，根據(jù)直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，可以求出k的值，進(jìn)而得到直線的方程；

（2）由已知我們易求出P,Q兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，我們可以得到點(diǎn)P與Q的坐標(biāo)，進(jìn)而得到以為直徑的圓的方程，根據(jù)圓的方程即可判斷結(jié)論.

(Ⅰ)由題意得，直線的斜率存在.

設(shè)直線的方程為.

因?yàn)橹本�與圓相切，

所以.

所以.

所以直線方程為.

(Ⅱ)由題意得，點(diǎn)，點(diǎn).

設(shè)點(diǎn)，則.

直線的方程為.

所以直線與直線的交點(diǎn)為點(diǎn).

直線的方程為.

所以直線與直線的交點(diǎn)為點(diǎn).

設(shè)點(diǎn).

則，.

因?yàn)橐?/span>為直徑的圓與軸交于定點(diǎn),

所以

解得.

所以定點(diǎn)或.