Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-

3

2

x²+1，（x∈R，a＞0），若在區(qū)間[-

1

2

，

1

2

]上，f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：在區(qū)間[-

1

2

，

1

2

]上，f（x）＞0恒成立等價于在區(qū)間[-

1

2

，

1

2

]上，f（x）_min＞0，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=ax³-

3

2

x²+1，（x∈R，a＞0）
∴f′（x）=3ax²-3x，
由f′（x）=0，得x=0，或x=

1

a

，
①當(dāng)

1

a

≥

1

2

，0＜a≤2時，
∵f（-

1

2

）=

5

8

-

a

8

，f（

1

2

）=

5

8

+

a

8

，f（0）=1，
∴在區(qū)間[-

1

2

，

1

2

]上，f（x）_min=

5

8

-

a

8

，
∵在區(qū)間[-

1

2

，

1

2

]上，f（x）＞0恒成立，
∴f（x）_min=

5

8

-

a

8

＞0，解得a＜5，
∴0＜a≤3．
②當(dāng)

1

a

＜

1

2

，a＞2時，
∵f（-

1

2

）=

5

8

-

a

8

，f（

1

2

）=

5

8

+

a

8

，f（0）=1，f（

1

a

）=1-

1

2a2

，
∴在區(qū)間[-

1

2

，

1

2

]上，f（x）_min=

5

8

-

a

8

，
∵在區(qū)間[-

1

2

，

1

2

]上，f（x）＞0恒成立，
∴f（x）_min=

5

8

-

a

8

＞0，解得a＜5，
∴3＜a＜5．
綜上所述，a的取值范圍是（0，5）．

點(diǎn)評：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．