Question

【題目】已知：直線(xiàn)，一個(gè)圓與軸正半軸與軸正半軸都相切，且圓心到直線(xiàn)的距離為．

（）求圓的方程．

（）是直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)， ， 是圓的兩條切線(xiàn)， ， 分別為切點(diǎn)，求四邊形的面積的最小值．

（）圓與軸交點(diǎn)記作，過(guò)作一直線(xiàn)與圓交于， 兩點(diǎn)， 中點(diǎn)為，求最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）圓的方程可設(shè)為， ，圓心到直線(xiàn)的距離為，由點(diǎn)到直線(xiàn)距離列方程求解即可；

（2）分析可得當(dāng)斜邊取最小值時(shí)， 也最小，即四邊形的面積最小，從而可得最小面積；

（3），取關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)，連接， ，可知為的中位線(xiàn)，所以要使最大，則最大即可.

試題解析：

（）解：圓與， 軸正半軸都相切，

∴圓的方程可設(shè)為， ，

圓心到直線(xiàn)的距離為，

∴由點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式得，解得，

∴半徑．

∴圓的方程為．

（）解： ， 是圓的兩條切線(xiàn)， ， 分別為切點(diǎn)，

∴≌，

∴，

是圓的切線(xiàn)，且為切點(diǎn)，

∴，

，

，

∴當(dāng)斜邊取最小值時(shí)， 也最小，即四邊形的面積最小．

即為到的距離，

由（）知，

∴，

即∴，

∴，

∴四邊形面積的最小值為．

（）解：依題，點(diǎn)坐標(biāo)，

如圖，取關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)，連接， ，

則為的中位線(xiàn)，

所以， ，

所以，要使最大，則應(yīng)最大，

所以，如圖，當(dāng)點(diǎn)為的延長(zhǎng)線(xiàn)與圓的交點(diǎn)時(shí)，

，

．

，

即的最大值為： ．