Question

已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若k＜

2c-b

2a

對(duì)任意的a，b，c恒成立，則

k2-2k+3

1-k

的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：計(jì)算題,綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由三角形的性質(zhì)得

2c-b

2a

＞

2c-b

2(b+c)

=

2c b -1

2(1+ c b )

，可求

2c-b

2a

＞-

1

2

，從而可得k的范圍，而

k2-2k+3

1-k

=（1-k）+

2

1-k

，通過(guò)換元后結(jié)賬函數(shù)的單調(diào)性可得最小值．

解答： 解：∵a，b，c為△ABC的三邊長(zhǎng)，
∴

2c-b

2a

＞

2c-b

2(b+c)

=

2c b -1

2(1+ c b )

=1-

3

2( c b +1)

，
∵

c

b

＞0，∴1-

3

2( c b +1)

＞1-

3

2

=-

1

2

，
又k＜

2c-b

2a

對(duì)任意的a，b，c恒成立，
∴k≤-

1

2

，1-k≥

3

2

，
則

k2-2k+3

1-k

=（1-k）+

2

1-k

，
令1-k=t，t≥

3

2

，
t+

2

t

在[

3

2

，+∞）上單調(diào)遞增，
∴t+

2

t

≥

3

2

+

2

3 2

=

17

6

，即

k2-2k+3

1-k

的最小值為

17

6

，
故答案為：

17

6

．

點(diǎn)評(píng)：該題考查函數(shù)恒成立、三角形的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性最值，考查學(xué)生分析問(wèn)題及解決問(wèn)題的能力，求得k的范圍是解決本題的關(guān)鍵所在．