Question

已知二次函數(shù)y=ax²+2ax+1，當(dāng)1≤x≤2時(shí)有最大值為6，則a的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先求出二次函數(shù)的對稱軸解析式，再分a＞0與a＜0時(shí)兩種情況，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列式解答即可．

解答： 解：∵二次函數(shù)y=ax²+2ax+1=a（x+1）²+1-a² 的對稱軸為x=-1，
①a＞0時(shí)，在1≤x≤2范圍內(nèi)，當(dāng)x=2時(shí)，取得最大值6，
即 4a+4a+1=6，a=

5

8

．
②a＜0時(shí)，則當(dāng)x=1時(shí)，取得最大值為6，即 3a+1=6 a=

5

3

（舍去）．
綜上可得，a=

5

8

．

解：由于橢圓的左焦點(diǎn)F₁（-2，0），∴c=2．
再根據(jù)e=

c

a

=

1

2

，∴a=4，∴b²=a²-c²=12，橢圓的方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
由△PF₁F₂為直角三角形，PF₁＞PF₂，
若可得PF₁⊥PF₂，設(shè)點(diǎn)P（m，n），m＞0，則由

m2 16 + n2 12 =1 n-0 m+2 • n-0 m-2 =-1

，可得m、n無解．
故一定是PF₂⊥x軸，故點(diǎn)P（2，±3），PF₁=

PF22+(2c)2

=

9+16

=5，PF₂=3，
∴

PF1

PF2

=

5

3

．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的最值問題，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，要注意分a＞0與a＜0兩種情況討論求解，屬于基礎(chǔ)題．