Question

8．已知函數(shù)f（x）=ax³+3x²-6ax-11，g（x）=3x²+6x+12，和直線m：y=kx+9．又f′（-1）=0．
（1）求a的值；
（2）如果對于所有x≥-2的x，都有f（x）≤kx+9≤g（x）成立，求k的取值范圍．
（3）是否存在k的值，使直線m既是曲線y=f（x）的切線，又是y=g（x）的切線；如果存在，求出k的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）第一小問較簡單，只要求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)即可解決；
（2）對于題目中：“f（x）≤kx+9≤g（x）成立”不等式問題，通過分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化成恒成立問題解決；
（3）先觀察條件可得直線m恒過點（0，9），再利用待定系數(shù)法求出切線的方程即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=ax³+3x²-6ax-11的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3ax²+6x-6a，
由f′（-1）=0，即有3a-6-6a=0，解得a=-2；
（2）kx+9≤g（x）得kx≤3x²+6x+3，
當(dāng)x=0，不等式恒成立，k∈R．
當(dāng)-2≤x＜0時，不等式為k≥3（x+$\frac{1}{x}$）+6，
而3（x+$\frac{1}{x}$）+6≤-3•2+6=0，∴k≥0；
當(dāng)x＞0時，不等式為k≥3（x+$\frac{1}{x}$）+6，∵3（x+$\frac{1}{x}$）+6≥3•2+6=12，
∴k≤12
∴當(dāng)x≥-2時，kx+9≤g（x）恒成立，則0≤k≤12；
由f（x）≤kx+9得kx+9≥-2x³+3x²+12x-11，
當(dāng)x=0時，9≥-11恒成立，k∈R，
當(dāng)-2≤x＜0時有k≤-2x²+3x+12-$\frac{20}{x}$，
設(shè)h（x）=-2x²+3x+12-$\frac{20}{x}$=-2（x-$\frac{3}{4}$）²+$\frac{105}{8}$-$\frac{20}{x}$，
當(dāng)-2≤x＜0時，-2（x-$\frac{3}{4}$）²+$\frac{105}{8}$為增函數(shù)，
-$\frac{20}{x}$也為增函數(shù)∴h（x）≥h（-2）=8，
∴要使f（x）≤kx+9在-2≤x＜0上恒成立，則k≤8；
由上述過程只要考慮0≤k≤8，
則當(dāng)x＞0時f′（x）=-6x²+16x+12=-6（x+1）（x-2）
∴在x∈（0，2]時f′（x）＞0，在（2，+∞）時，
∴f（x）在x=2時有極大值即f（x）在（0，+∞）上的最大值，
又f（2）=9，即f（x）≤9而當(dāng)x＞0，k≥0時，
∴f（x）≤kx+9一定成立，
綜上所述0≤k≤8；
（3）因為直線m恒過點（0，9）．
先求直線m是y=f（x）的切線．
設(shè)切點為（x₀，3x₀²+6x₀+12），
∵g′（x₀）=6x₀+6．
∴切線方程為y-（3x₀²+6x₀+12）=（6x₀+6）（x-x₀），
將點（0，9）代入得x₀=±1．
當(dāng)x₀=-1時，切線方程為y=9，
當(dāng)x₀=1時，切線方程為y=12x+9．
由f′（x）=0得-6x²+6x+12=0，即有x=-1，x=2
當(dāng)x=-1時，y=f（x）的切線y=-18，當(dāng)x=2時，
y=f（x）的切線方程為y=9∴y=9是公切線，
又由f′（x）=12得-6x²+6x+12=12
∴x=0或x=1，當(dāng)x=0時y=f（x）的切線為y=12x-11，
當(dāng)x=1時y=f（x）的切線為y=12x-10，
∴y=12x+9，不是公切線，
綜上所述k=0時y=9是兩曲線的公切線．

點評 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問題的能力，同時還考查分類討論的思想方法和運算求解的能力，綜合性特別強，對學(xué)生能力要求高，有壓軸題分量．