Question

13．已知a，b，c，d∈（0，+∞），求證ac+bd≤$\sqrt{{（a}^{2}+^{2}）（{c}^{2}+gxgcr6t^{2}）}$．

Answer 1

分析 法一：利用分析法逐步推出0≤（bc-ad）²，得到結(jié)果即可．
法二：利用綜合法，通過利用重要不等式，證明即可．

解答 （本小題滿分10分）
證明：法一：（分析法）
a，b，c，d∈（0，+∞），欲證ac+bd≤$\sqrt{{（a}^{2}+^{2}）（{c}^{2}+zyd9uqa^{2}）}$，只需證（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²），
即證a²c²+2abcd+b²d²≤a²c²+b²d²+a²d²+b²c²，即證2abcd≤a²d²+b²c²，
即證0≤（bc-ad）²，而a，b，c，d∈（0，+∞），0≤（bc-ad）²顯然成立，
故原不等式成立．
法二：（綜合法）（a²+b²）（c²+d²）=a²c²+b²d²+a²d²+b²c²≥a²c²+b²d²+2abcd
=（ac+bd）²，所以$\sqrt{{（a}^{2}+^{2}）（{c}^{2}+pitlw6g^{2}）}$≥ac+bd．

點評 本題考查不等式的證明，考查分析法與綜合法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力．