Question

20．給出下列命題：
①角α的終邊與單位圓交于點P，過點P作x軸的垂線，垂足為M，則sinα=|MP|；
②存在x∈（0，$\frac{π}{2}$），使sinx+cosx=$\frac{1}{3}$；
③將函數y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移$\frac{π}{4}$個單位長度，得到的函數關于（$\frac{π}{2}$，0）成中心對稱；
④y=sinx與y=x在定義域R上有且只有一個公共點．
其中錯誤的命題為①②（把所有符合要求的命題序號都填上）．

Answer 1

分析 根據正弦線的定義，可判斷①；根據輔助角公式及正弦型函數的圖象和性質，可判斷②；根據函數圖象的變換方式及正弦型函數的圖象和性質，可判斷③；分析函數f（x）=sinx-x零點的個數，可判斷④．

解答 解：①角α的終邊與單位圓交于點P，過點P作x軸的垂線，垂足為M，則sinα=$\overrightarrow{MP}$，故錯誤；
②當x∈（0，$\frac{π}{2}$）時，sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈（1，$\sqrt{2}$]，$\frac{1}{3}$∉（1，$\sqrt{2}$]，故錯誤；
③將函數y=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數y=sin（x+$\frac{π}{4}$）的圖象，
再向左平移$\frac{π}{4}$個單位長度，得到的函數y=sin（x+$\frac{π}{2}$）=cosx的圖象，關于（$\frac{π}{2}$，0）成中心對稱，故正確；
④令f（x）=sinx-x，則f′（x）=cosx-1≤0恒成立，故f（x）在R為減函數，
又由f（0）=0，故f（x）有且只有一個零點，故y=sinx與y=x在定義域R上有且只有一個公共點，故④正確；
故錯誤的命題有：①②，
故答案為：①②

點評 本題以命題的真假判斷為載體，考查了三角函數線，正弦型函數的圖象和性質，函數圖象的變換，函數圖象的交點等知識點，難度中檔．