過(guò)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一個(gè)焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線交橢圓于點(diǎn)(-1,
2
2
)

(1)求橢圓C的方程;
(2)橢圓C的左、右頂點(diǎn)A、B,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,P為以F1F2為直徑的圓上異于F1,F(xiàn)2的動(dòng)點(diǎn),問(wèn)
AP
BP
是否為定值,若是求出定值,不是說(shuō)明理由?
(3)是否存在過(guò)點(diǎn)Q(-2,0)的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)M、N,使得|FD|=
1
2
|MN|
(其中D為弦MN的中點(diǎn))?若存在,求出直線l的方程:若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1)由題設(shè)知c=1,
1
a2
+
1
2b2
=1
①,又a2=b2+c2,即a2=b2+1②,
聯(lián)立①②解得a2=2,b2=1,
所以橢圓C的方程為
x2
2
+y2=1
;
(2)由(1)知,A(-
2
,0),B(
2
,0),F(xiàn)1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),
設(shè)P(x0,y0)(x0≠±1),則
F1P
=(x0+1,y0),
F2P
=(x0-1,y0),
因?yàn)镻為以F1F2為直徑的圓上的動(dòng)點(diǎn),所以
F1P
F2P
,即
F1P
F2P
=0,
所以(x0+1)(x0-1)+y02=x02+y02-1=0,即x02+y02=1,
所以
AP
BP
=(x0+
2
,y0)•(x0-
2
,y0)═(x0+
2
)•(x0-
2
)+y02=x02+y02-2=1-2=-1.
AP
BP
是定值,為-1.
(3)假設(shè)存在滿足條件的直線l,設(shè)直線l的方程為y=k(x+2),
y=k(x+2)
x2
2
+y2=1
得(2k2+1)x2+8k2x+8k2-2=0,則△=64k4-4(2k2+1)(8k2-2)>0,即k2
1
2
③,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=
-8k2
2k2+1
,x1x2=
8k2-2
2k2+1
,
由D為弦MN的中點(diǎn),且|FD|=
1
2
|MN|
,得FM⊥FN,即
FM
FN
=0
,
所以(x1+1,y1)•(x2+1,y2)=(x1+1)•(x2+1)+y1y2=x1x2+x1+x2+1+k2(x1+1)(x2+1)=0,即(k2+1)x1x2+(2k2+1)(x1+x2)+4k2+1=0,
所以(k2+1)•
8k2-2
2k2+1
+(2k2+1)•
-8k2
2k2+1
+4k2+1=0,
解得k2=
1
2
,不滿足③式,
故不存在這樣的直線l.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知p:方程
x2
k-4
+
y2
k-6
=1
表示雙曲線,q:過(guò)點(diǎn)M(2,1)的直線與橢圓
x2
5
+
y2
k
=1
恒有公共點(diǎn),若p∧q為真命題,求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的離心率為
3
2
,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+
2
=0
相切.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)P(4,0),M,N是橢圓C上關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的任意兩個(gè)不同的點(diǎn),連接PN交橢圓C于另一點(diǎn)E,求直線PN的斜率的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,證明直線ME與x軸相交于定點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知直線l1過(guò)A(0,1),與直線x=-2相交于點(diǎn)P(-2,y0),直線l2過(guò)B(0,-1)與x相交于Q(x0,0),x0、y0滿足y0-
x0
2
=1
,l1∩l2=M.
(Ⅰ)求直線l1的方程(方程中含有y0);
(Ⅱ)求點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(Ⅲ)過(guò)C左焦點(diǎn)F1的直線l與C相交于點(diǎn)A、B,F(xiàn)2為C的右焦點(diǎn),求△ABF2面積最大時(shí)點(diǎn)F2到直線l的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

橢圓mx2+ny2=1與直線x+y=1交于M,N兩點(diǎn),MN的中點(diǎn)為P,且OP的斜率為
2
2
,則
m
n
的值為( 。
A.
2
2
B.
2
2
3
C.
9
2
2
D.
2
3
27

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知橢圓G:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
6
3
,右焦點(diǎn)為(2
2
,0),斜率為1的直線l與橢圓G交與A、B兩點(diǎn),以AB為底邊作等腰三角形,頂點(diǎn)為P(-3,2).
(Ⅰ)求橢圓G的方程;
(Ⅱ)求△PAB的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知雙曲線E:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的離心率為e,左、右兩焦點(diǎn)分別為F1、F2,焦距為2c,拋物線C以F2為頂點(diǎn),F(xiàn)1為焦點(diǎn),點(diǎn)P為拋物線與雙曲線右支上的一個(gè)交點(diǎn),若a|PF2|+c|PF1|=8a2,則e的值為( 。
A.
3
B.3C.
2
D.
6

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

直線y=2x+1與橢圓
x2
4
+
y2
16
=1
的位置關(guān)系是( 。
A.相交B.相切C.相離D.不確定

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知直線l:y=x+m與拋物線y2=8x交于A、B兩點(diǎn),
(1)若|AB|=10,求m的值;
(2)若OA⊥OB,求m的值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案