Question

數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a（a≠0），前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+1=t•S_n+a（t≠0）．設(shè)b_n=S_n+1，c_n=k+b₁+b₂+…+b_n（k∈R⁺）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)t=1時(shí)，若對任意n∈N^*，|b_n|≥|b₃|恒成立，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)t≠1時(shí)，試求三個(gè)正數(shù)a，t，k的一組值，使得{c_n}為等比數(shù)列，且a，t，k成等差數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）在數(shù)列遞推式中取n=n-1，得到另一遞推式，作差后求得數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列并求出公比，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；
（2）由t=1求得a_n，S_n，b_n，由|b_n|≥|b₃|恒成立，利用取n得特殊值及單調(diào)性求函數(shù)的最值求得a的取值范圍；
（3）求出等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，代入b_n=S_n+1，再求出c_n=k+b₁+b₂+…+b_n，由{c_n}為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式特點(diǎn)得到a，k，t的關(guān)系，再結(jié)合a，t，k成等差數(shù)列聯(lián)立方程組求得a，t，k的值．

解答： 解：（1）∵S_n+1=t•S_n+a①
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=t•S_n-1+a②，
①-②得，a_n+1=t•a_n（n≥2），
又由S₂=t•S₁+a，得a₂=t•a₁，
∴{a_n}是首項(xiàng)為a，公比為t的等比數(shù)列，
∴an=a•tn-1（n∈N^*）；
（2）當(dāng)t=1時(shí)，a_n=a，S_n=na，b_n=na+1，
由|b_n|≥|b₃|，得|na+1|≥|3a+1|，（n-3）a[（n+3）a+2]≥0（*） 
當(dāng)a＞0時(shí)，n＜3時(shí)，（*）不成立；
當(dāng)a＜0時(shí)，（*）等價(jià)于（n-3）[（n+3）a+2]≤0（**）
n=3時(shí)，（**）成立．n≥4時(shí)，有（n+3）a+2≤0，即a≤-

2

n+3

恒成立，
∴a≤-

2

7

．n=1時(shí)，有4a+2≥0，a≥-

1

2

．n=2時(shí)，有5a+2≥0，a≥-

2

5

． 
綜上，a的取值范圍是[-

2

5

 ， -

2

7

]；
（3）當(dāng)t≠1時(shí)，Sn=

a(1-tn)

1-t

，bn=

a(1-tn)

1-t

+1=1+

a

1-t

-

atn

1-t

，
cn=k+n+

an

1-t

-

at(1-tn)

(1-t)2

=

atn+1

(1-t)2

+

1+a-t

1-t

•n+

k(1-t)2-at

(1-t)2

，
∴當(dāng)

1+a-t 1-t =0  k(1-t)2-at (1-t)2 =0

時(shí)，數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列，∴

a=t-1  k= t t-1

，
又∵a，t，k成等差數(shù)列，∴2t=a+k，即2t=t-1+

t

t-1

，
解得t=

5 +1

2

．
從而，a=

5 -1

2

，k=

5 +3

2

．
∴當(dāng)a=

5 -1

2

，t=

5 +1

2

，k=

5 +3

2

時(shí)，數(shù)列{c_n}為等比數(shù)列．

點(diǎn)評：本題是數(shù)列與不等式的綜合題，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了特值化思想在解題中的應(yīng)用，考查了數(shù)列的求和方法，考查了運(yùn)算能力，屬難度較大的題目．