Question

17．若f（x）=-x²+ax+2+lg（2-|x|）（a∈R）是偶函數(shù)，且f（1-m）＜f（m），則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． （-∞，$\frac{1}{2}$）
• C． （$\frac{1}{2}$，2）
• D． （-1，$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 利用f（x）=-x²+ax+2+lg（2-|x|）（a∈R）是偶函數(shù)，求出a，確定定義域為（-2，2），在（0，2）上單調遞減，f（1一m）＜f（m），化為2＞|1一m|＞|m|，即可求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=-x²+ax+2+lg（2-|x|）（a∈R）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x）即-x²-ax+2+lg（2-|x|）=-x²+ax+2+lg（2-|x|），
∴a=0，
∴f（x）=-x²+2+lg（2-|x|）定義域為（-2，2），在（0，2）上單調遞減，
∵函數(shù)是偶函數(shù)，且f（1-m）＜f（m），
∴f（|1-m|）＜f（|m|），
∴2＞|1-m|＞|m|，
∴-1＜m＜$\frac{1}{2}$，
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調性，考查學生的計算能力，正確轉化是關鍵，屬于中檔題．