Question

已知：的二項(xiàng)展開(kāi)式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79．
（1）求展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和與系數(shù)之和；
（2）求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，由展開(kāi)式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，可得關(guān)于n的方程C_n+C_n¹+C_n²=79，解可得n的值，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得其展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)之和，在（+2x）¹²中，令x=1可得其展開(kāi)式的系數(shù)之和；
（2）根據(jù)題意，假設(shè)T_k+1項(xiàng)的系數(shù)最大，T_k+1項(xiàng)的系數(shù)為r_k，則有，代入數(shù)據(jù)，解可得k=10，即展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)₁₁，計(jì)算可得T₁₁的值，即可得答案．
解答：解：（1）根據(jù)題意，的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)_r+1=2^r•C_n^r•（）^n-r•x^r，
由其二項(xiàng)展開(kāi)式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，則C_n+C_n¹+C_n²=79，
即1+n+=79，
又由n∈N，
解可得n=12，
則其展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)之和為2¹²=4096，
令x=1，可得（+2）¹²=（）¹²，即其展開(kāi)式的系數(shù)之和（）¹²，
（2）設(shè)T_k+1項(xiàng)的系數(shù)最大．
∵（+2x）¹²=（）¹²（1+4x）¹²，
∴
∴9.4＜k＜10.4，∴k=10，
∴展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)₁₁．
T₁₁=（）¹²C₁₂¹⁰4¹⁰x¹⁰=16896x¹⁰．
故其展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)16896x¹⁰．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，涉及二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和問(wèn)題，容易出錯(cuò)．要正確區(qū)分這兩個(gè)概念．