Question

已知函數(shù)f（x）=x²e^ax．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求導(dǎo)函數(shù)，確定切線的斜率，求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的結(jié)論，結(jié)合f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，即可求a范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng) a=1時(shí)，f（x）=x²e^x，f′（x）=（x²）′e^x+x²（e^x）′=2xe^x+x²e^x=（2x+x²）e^x
∴f′（1）=3e，f（1）=e，
∴切線方程為y-e=3e（x-1），即3ex-y-2e=0…（4分）
（Ⅱ）f′（x）=（x²）′e^ax+x²（e^ax）′=2xe^ax+ax²e^ax=x（ax+2）e^ax…（5分）
（1）當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=2x，當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，
∴單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0）…（6分）
當(dāng)a≠0時(shí)，令f′（x）=0，得x₁=0或x2=-

2

a

…（7分）
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，0＞-

2

a

，
當(dāng)x＜-

2

a

時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)-

2

a

＜x＜0時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，
單調(diào)增區(qū)間為(-∞，-

2

a

)，（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間為(-

2

a

，0)…（9分）
（3）當(dāng)a＜0時(shí)，0＜-

2

a

，當(dāng)x＞-

2

a

時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)0＜x＜-

2

a

時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，-

2

a

），單調(diào)減區(qū)間是（-∞，0），（-

2

a

，+∞）           …（11分）
綜上：當(dāng)a=0時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0）
當(dāng)a＞0時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為(-∞，-

2

a

)，（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間為(-

2

a

，0)
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，-

2

a

），單調(diào)減區(qū)間是（-∞，0），（-

2

a

，+∞）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，滿足條件；  …（12分）
當(dāng)a＜0時(shí)，單調(diào)增區(qū)間為（0，-

2

a

）與f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增不符          …（13分）
綜上：a≥0                                                  …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．