Question

已知拋物線C：x²=4y，M為直線l：y=-1上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作拋物線C的兩條切線MA，MB，切點(diǎn)分別為A，B．
（Ⅰ）當(dāng)M的坐標(biāo)為（0，-1）時，求過M，A，B三點(diǎn)的圓的方程；
（Ⅱ）證明：以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)M．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當(dāng)M的坐標(biāo)為（0，-1）時，設(shè)過M切線方程為y=kx-1，與拋物線解析式聯(lián)立，消去y得關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)題意得到根的判別式的值為0，求出k的值，代入確定出A與B的坐標(biāo)，設(shè)圓心P（0，a），由|PM|=|PB|，列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出圓心坐標(biāo)及半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；
（Ⅱ）設(shè)M（x，-1），由已知拋物線解析式變形得y=，求出導(dǎo)函數(shù)y′=x，設(shè)出切點(diǎn)A與B坐標(biāo)分別為A（x₁，），B（x₂，），表示出切線MA與切線MB的方程，再由切線MA與MB過M，將M坐標(biāo)分別代入得到兩個關(guān)系式，x₁，x₂是方程-1=xx-x²的兩實(shí)根，利用韋達(dá)定理表示出兩根之和與兩根之積，再表示出兩向量與，將表示出兩根之和與兩根之積代入計(jì)算•的值為0，即可得到以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)M．
解答：（Ⅰ）解：當(dāng)M的坐標(biāo)為（0，-1）時，設(shè)過M點(diǎn)的切線方程為y=kx-1，
由，消y得x²-4kx+4=0，（1）
令△=（4k）²-4×4=0，解得：k=±1，
代入方程（1），解得A（2，1），B（-2，1），
設(shè)圓心P的坐標(biāo)為（0，a），由|PM|=|PB|，得a+1=2，解得a=1，
故過M，A，B三點(diǎn)的圓的方程為x²+（y-1）²=4；    
（Ⅱ）證明：設(shè)M（x，-1），由已知得y=，y′=x，
設(shè)切點(diǎn)分別為A（x₁，），B（x₂，），
∴k_MA=，k_MB=，
切線MA的方程為y-=（x-x₁），即y=x₁x-x₁²，
切線MB的方程為y-=（x-x₂），即y=x₂x-x₂²，
又因?yàn)榍芯�MA過點(diǎn)M（x，-1），
所以得-1=xx₁-x₁²，①
又因?yàn)榍芯�MB也過點(diǎn)M（x，-1），
所以得-1=xx₂-x₂²，②
所以x₁，x₂是方程-1=xx-x²的兩實(shí)根，
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=2x，x₁x₂=-4，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124551302732087/SYS201310251245513027320017_DA/31.png">=（x₁-x，+1），=（x₂-x，+1），
所以•=（x₁-x）（x₂-x）+（+1）（+1）
=x₁x₂-x（x₁+x₂）+x²++（x₁²+x₂²）+1
=x₁x₂-x（x₁+x₂）+x²++[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+1，
將x₁+x₂=2x，x₁x₂=-4代入，得•=0，
則以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)M．
點(diǎn)評：此題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及的知識有：兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，韋達(dá)定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，兩點(diǎn)間的距離公式，以及圓的切線方程，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．