Question

【題目】已知數(shù)列，，的前n項(xiàng)和為．

（1）若，，求證：，其中，；

（2）若對任意均有，求的通項(xiàng)公式；

（3）若對任意均有，求證：．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 ；（2） ；（3）證明見解析.

【解析】

（1）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入所證明的不等式轉(zhuǎn)化求解即可；

（2）利用遞推關(guān)系，說明是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，然后求解即可；

（3）化簡數(shù)列的遞推關(guān)系式，得出是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，求出的通項(xiàng)公式，用倒序相加法求數(shù)列的前項(xiàng)和，利用（1）結(jié)論進(jìn)行放縮，然后證明即可.

解：（1）由已知為等差數(shù)列，且，

，

即

；

（2）

所以是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，

故，

，

；

（3）

即是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，

故，

記，

由（1）知

，

證明：

又

，

即，

故

兩式相加得

，

即.