Question

等比數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂₀₁₂=4，函數(shù)f（x）=x（x-a₁）（x-a₂）…（x-a₂₀₁₂），則函數(shù)f（x）在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到a₁a₂₀₁₂=a₂a₂₀₁₁=…=a₁₀₀₆a₁₀₀₇，把已知的a₁=1，a₂₀₁₂=4代入，求出a₁a₂₀₁₂，a₂a₂₀₁₁，…，a₁₀₀₆a₁₀₀₇的值，然后由函數(shù)解析式，利用求導(dǎo)法則求出f′（x），并把x=0代入導(dǎo)函數(shù)中，表示出f′（0），利用乘法運(yùn)算律整理后，將求出的a₁a₂₀₁₂，a₂a₂₀₁₁，…，a₁₀₀₆a₁₀₀₇的值代入，利用同底數(shù)冪的運(yùn)算法則化簡后，得出f′（0）的值，即為函數(shù)在（0，f（0））處的斜率，進(jìn)而確定出函數(shù)f（x） 在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程．

解答： 解：∵等比數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂₀₁₂=4，
∴a₁a₂₀₁₂=a₂a₂₀₁₁=…=a₁₀₀₆a₁₀₀₇=4=2²，
∵f（x）=x（x-a₁）（x-a₂）…（x-a₂₀₁₂），
∴f′（0）=（-a₁）•（-a₂）•…•（-a₂₀₁₂）=a₁•a₂•…•a₂₀₁₂
=（a₁a₂₀₁₂）•（a₂a₂₀₁₁）•…•（a₁₀₀₆a₁₀₀₇）
=2²•2²•…•2²（1006個(gè)2²相乘）=2^1006×2=2²⁰¹²，
∴函數(shù)f（x） 在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程y-f（0）=2²⁰¹²（x-0），即y=2²⁰¹²x．
故答案為：y=2²⁰¹²x．

點(diǎn)評：本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，求導(dǎo)法則，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，以及直線的點(diǎn)斜式方程，其中利用等比數(shù)列的性質(zhì)及求導(dǎo)法則求出f′（0）的值及切線方程的斜率是解本題的關(guān)鍵．