Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax2+2lnx，曲線y=f（x）在x=1處的切線斜率為4．
（1）求a的值及切線方程；
（2）點(diǎn)P（x，y）為曲線y=f′（x）上一點(diǎn)，求y-x的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在x=1處的切線斜率為4，建立方程，即可求a的值及切線方程；
（2）利用導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的定義域，利用基本不等式，即可求y-x的最小值．

解答： 解：（1）∵f(x)=

1

2

ax2+2lnx，∴f′(x)=ax+

2

x

…2分
∵曲線y=f（x）在x=1處的切線斜率為4，
∴f'（1）=a+2=4…3分
∴a=2…4分
∴f（1）=1…5分
∴切線方程為y-1=4（x-1），即4x-y-3=0…7分
（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）…8分
∵點(diǎn)P（x，y）為曲線y=f'（x）上一點(diǎn)，
∴y-x=x+

2

x

≥2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

時(shí)，等號(hào)成立．…12分
∴y-x的最小值為2

2

．…13分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．