Question

已知函數(shù)f（x）=x³-（

3

4

a+3）x²+3ax，x∈[0，4]．
（1）若2＜a＜4，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)g（x）=

11

16

（x-xlnx），是否存在實(shí)數(shù)a，使得對于任意的x₀∈[

1

e

，e]，都有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)x₁，x₂，使得f（x₁）=f（x₂）=g（x₀）？若存在，求a的取值范圍，否則說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,變化的快慢與變化率

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）的值域；
（2）分離參數(shù)，求最值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）g（x）∈[0，

11

16

]，分類討論，研究f（x）的單調(diào)性，即可求a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-（

3

4

a+3）x²+3ax，
∴f′（x）=3（x-2）（x-

a

2

），
∵2＜a＜4，
∴1＜

a

2

＜2，
∴f（x）在（0，

a

2

）和（2，4）上遞增，在（

a

2

，2）上遞減，
∵f（0）=0，f（2）=3a-4＞0，f（

a

2

）=

3

4

a2-

a3

16

＜

3

4

a2＜12，f（4）=16＞f（

a

2

），
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，16]；
（2）f（x）≥0恒成立，即a≥

x2-3x

3 4 x-3

，
令y=

x2-3x

3 4 x-3

，則y′=

3 4 (x-2)(x-6)

( 3 4 x-3)2

，
∴y在（0，2]上遞增，在[2，4]時(shí)遞減，
∴x=2時(shí)，y_max=

4

3

，
∴a≥

4

3

；
（3）x₀∈[

1

e

，e]，g′（x）=-

11

16

lnx，
∴g（x）在[

1

e

，1]上遞增，在[1，e]上遞減，
∵g（

1

e

）=

11

16

•

2

e

，g（1）=

11

16

，g（e）=0，
∴g（x）∈[0，

11

16

]．
a≤0時(shí)，f（x）在（0，2）上遞減，（2，4）上遞增，而f（0）=0，不符合題意；
0＜

a

2

＜2，即0＜a＜4時(shí)，f（x）在（0，

a

2

）和（2，4）上遞增，在（

a

2

，2）上遞減，

∴f（

a

2

）=

3

4

a2-

a3

16

≥

11

16

，f（2）=3a-4≤0，
∴1≤a≤

4

3

，

a

2

=2即a=4時(shí)，f（x）在[0，4]上遞增，不符合題意；
2＜

a

2

＜4，即4＜a＜8時(shí)，f（x）在（0，2）和（

a

2

，4）上遞增，在（2，

a

2

）上遞減，

∴f（

a

2

）=

3

4

a2-

a3

16

≤0，f（2）=3a-4≥1，
∴a∈∅；

a

2

≥4，即a≥8時(shí)，f（x）在（0，2）上遞增，在（2，4）上遞減，
∵f（4）=16＞0，不符合題意，
綜上，a的取值范圍是1≤a≤

4

3

．

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)最值、極值在問題中的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化、計(jì)算、邏輯思維能力．