Question

已知向量

a

=（mcosθ，-

2

），

b

=（1，

2

2

n+sinθ）且

a

⊥

b

（1）若m=

2

，n=1，求sin（θ-

π

4

）的值；
（2）m=

2

且θ∈（0，

π

2

），求實數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：（1）運用數(shù)量積的運算結(jié)合三角函數(shù)求解．（2）得到：n=

2

（cosθ-sinθ）=2cos（θ+

π

4

），θ∈(0，

π

2

)根據(jù)三角函數(shù)的圖象求解可得．

解答： 解：∵

a

⊥

b

，

a

•

b

=0，
∴mcosθ-

2

（

2

2

n+sinθ）=0，
即mcosθ-n-

2

sinθ=0；
（1）∵m=

2

，n=1，
∴

2

cosθ-

2

sinθ-1=0即

2

cosθ-

2

sinθ=1∴sin（θ-

π

4

）=-

1

2

，
（2）∵m=

2

，∴

2

cosθ-n-

2

sinθ=0，
∴n=

2

（cosθ-sinθ）=2cos（θ+

π

4

），θ∈(0，

π

2

)．
∵θ∈(0，

π

2

)，∴

π

4

＜θ+

π

4

＜

3π

4

，
∴-

2

2

＜cos(θ-

π

4

)＜

2

2

，
∴-

2

＜n＜

2

．

點評：本題綜合考察了三角函數(shù)與向量的數(shù)量積的運算，利用三角公式轉(zhuǎn)化求解，難度不大．