Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+2ax-b²+4．
（Ⅰ）若a是從-2、-1、0、1、2五個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0、1、2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求函數(shù)f（x）無零點的概率；
（Ⅱ）若a是從區(qū)間[-2，2]任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]任取的一個數(shù)，求函數(shù)f（x）無零點的概率．

Answer 1

考點：列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率,幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）問題等價于a²+b²＜4，列舉可得基本事件共有15個，事件A包含6個基本事件，可得概率；（Ⅱ）作出圖形，由幾何概型的概率公式可得．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x²+2ax-b²+4無零點等價于方程x²+2ax-b²+4=0無實根，
可得△=（2a）²-4（-b²+4）＜0，可得a²+b²＜4
記事件A為函數(shù)f（x）=x²+2ax-b²+4無零點，
總的基本事件共有15個：（-2，0），（-2，1），（-2，2），（-1，0），
（-1，1），（-1，2），（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），
（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），事件A包含6個基本事件，
∴P（A）=

6

15

=

2

5

（Ⅱ）如圖，試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為（矩形區(qū)域）

事件A所構(gòu)成的區(qū)域為A={（a，b）|a²+b²＜4且（a，b）∈Ω}即圖中的陰影部分．
∴P(A)=

SA

SΩ

=

2π

8

=

π

4

點評：本題考查古典概型和幾何概型，屬基礎(chǔ)題．