Question

【題目】我們稱滿足下面條件的函數(shù)y=f（x）為“ξ函數(shù)”：存在一條與函數(shù)y=f（x）的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)（設(shè)為P（x1 ， y1）Q（x2 ， y2））的直線，y=（x）在x= 處的切線與此直線平行．下列函數(shù)：
①y= ②y=x2（x＞0）③y= ④y=lnx，
其中為“ξ函數(shù)”的是（將所有你認(rèn)為正確的序號填在橫線上）

Answer 1

【答案】②③
【解析】解：（1）設(shè)一條直線l與函數(shù)y= 的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）（x1≠x2）的直線，可得kl= =﹣ ．由于y′=﹣ ，可得y=f（x）在x= 處切線的斜率k=f′（ ）=﹣ ，可得﹣ ≠﹣ ，因此函數(shù)y= 不是ξ函數(shù)”；（2）設(shè)一條直線l與函數(shù)y=x2（x＞0）的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）的直線，則kl= =2x=x2+x1 ，
∵y′=2x，
∴y=f（x）在x= 處的切線的斜率k=f′（ ）=2× =x1+x2 ，
∴存在一條直線l與函數(shù)y=f（x）的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2）的直線，使y=f（x）在x= 處的切線與此直線平行，
因此函數(shù)y=x2為ξ函數(shù)；
同理可判定：（3）為“ξ函數(shù)；（4）不為ξ函數(shù)．
所以答案是：②③．
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的值域和函數(shù)的值對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最�。ù螅�數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的；函數(shù)值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數(shù)法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法．