Question

11．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：S_n=n²，等比數(shù)列{b_n}滿足：b₂=2，b₅=16
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，可得an的通項(xiàng)，由等比數(shù)列的通項(xiàng)可得；
（2）由錯(cuò)位相減法，可得數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足：S_n=n²，
n=1時(shí)，a₁=S₁=1，n＞1時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
n=1也成立．
故a_n=2n-1，
等比數(shù)列{b_n}滿足：b₂=2，b₅=16，
q³=$\frac{_{5}}{_{2}}$=8，解得q=2．
則有b_n=b₂q^n-2=2^n-1；
（2）前n項(xiàng)和T_n=1•1+3•2+5•4+7•8+…+（2n-1）•2^n-1，
2T_n=1•2+3•4+5•8+7•16+…+（2n-1）•2ⁿ，
兩式相減．得-T_n=1+2•2+2•4+2•8+2•16+…+2•2^n-1-（2n-1）•2ⁿ，
即有-T_n=1+$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ，
則有${T_n}=（2n-3）{2^n}+3$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系，同時(shí)考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式，及數(shù)列的求和：錯(cuò)位相減法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．