Question

19．如圖，平行四邊形ABCD（A，B，C，D按逆時(shí)針順序排列），AB，AD邊所在直線的方程分別是x+4y-7=0，3x+2y-11=0，且對(duì)角線AC和BD的交點(diǎn)為M（2，0）
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)
（2）求CD邊所在直線的方程．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立直線方程，解方程組可得交點(diǎn)A；
（2）解法一：求出C（1，-1），由平行關(guān)系可得直線CD的斜率，可得點(diǎn)斜式方程，化為一般式即可；
解法二：C（1，-1），設(shè)CD邊所在的直線方程為：x+4y+m=0，代點(diǎn)求m即可；
解法三：設(shè)P（x，y）為CD邊所在的直線上的任一點(diǎn)，P關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為P′（x₀，y₀），代入法消參數(shù)可得．

解答 解：（1）由題意聯(lián)立直線方程$\left\{\begin{array}{l}x+4y-7=0\\ 3x+2y-11=0\end{array}\right.$，
解方程組可得$\left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=1\end{array}\right.$，∴A（3，1）
（2）解法一：A關(guān)于M的對(duì)稱點(diǎn)為C，∴C（1，-1），
又${k_{AB}}={k_{CD}}=-\frac{1}{4}$，∴CD邊所在的直線方程為$y+1=-\frac{1}{4}（x-1）$
化為一般式可得：x+4y+3=0
解法二：A關(guān)于M的對(duì)稱點(diǎn)為C，∴C（1，-1），
設(shè)CD邊所在的直線方程為：x+4y+m=0，
∴1+4×（-1）+m=0，解得m=3，
∴CD邊所在的直線方程為x+4y+3=0
解法三：設(shè)P（x，y）為CD邊所在的直線上的任一點(diǎn)，
P關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為P′（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x+{x_0}}}{2}=2\\ \frac{{y+{y_0}}}{2}=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=4-x\\{y_0}=-y\end{array}\right.$，
又P′在直線AB上，∴（4-x）+4（-y）-7=0
∴x+4y+3=0

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的方程，直線與直線的位置關(guān)系，點(diǎn)線對(duì)稱關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，屬基礎(chǔ)題．