Question

10．將四個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的相同小球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子中，
（1）若每個(gè)盒子放一個(gè)小球，求有多少種放法；
（2）若每個(gè)盒子放一球，求恰有1個(gè)盒子的號(hào)碼與小球的號(hào)碼相同的放法種數(shù)；
（3）求恰有一個(gè)空盒子的放法種數(shù)．

Answer 1

分析 （1）把四個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的相同小球全排列即可，
（2）先確定一個(gè)1個(gè)盒子的號(hào)碼與小球的號(hào)碼相同，有4種，再確定，剩下的3個(gè)小球只有2種放法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得．
（3）恰有一個(gè)空盒，則這4個(gè)盒子中只有3個(gè)盒子內(nèi)有小球，且小球數(shù)只能是1、1、2．先從4個(gè)小球中任選2個(gè)放在一起，與其他兩個(gè)球看成三個(gè)元素，在三個(gè)位置排列．

解答 解：（1）若每個(gè)盒子放一個(gè)小球，把四個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的相同小球全排列，故有$A_4^4$=24種；
（2）假設(shè)1號(hào)小球放在1號(hào)盒子內(nèi)，先放2號(hào)小球，若2號(hào)小球放在3號(hào)盒子里，則3號(hào)小球只能放在4號(hào)盒子里，4號(hào)小球只能放在2號(hào)盒子里，有1種方法，
若2號(hào)小球放在4號(hào)盒子里，則3號(hào)小球只能放在2號(hào)盒子里，4號(hào)小球只能放在3號(hào)盒子里，有1種方法，
故恰有1個(gè)盒子的號(hào)碼與小球的號(hào)碼相同的放法種$C_4^1•2$=8種；
（3）恰有一個(gè)空盒，則這4個(gè)盒子中只有3個(gè)盒子內(nèi)有小球，
且小球數(shù)只能是1、1、2．
先從4個(gè)小球中任選2個(gè)放在一起，有C²₄種方法，
然后與其余2個(gè)小球看成三組，分別放入4個(gè)盒子中的3個(gè)盒子中，有A³₄種放法．
∴由分步計(jì)數(shù)原理知共有C²₄A³₄=144種不同的放法．

點(diǎn)評(píng) 本題考查計(jì)數(shù)問題，考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，排列問題要做到不重不漏，有些題目帶有一定的約束條件，解題時(shí)要先考慮有限制條件的元素，屬于中檔題．