Question

已知直線l過點P(-1,1),傾斜角為θ,與拋物線y²=-8x交于A、B兩點.

(1)求|PA|·|PB|的最小值及此時l的方程;

(2)若P(-1,1)平分線段AB,求l的方程;

(3)若線段AB被P(-1,1)三等分,求l的方程.

Answer 1

解析:由于題目所求部分有明確幾何意義,可考慮用直線的參數(shù)方程.

解:設(shè)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入拋物線方程并整理得t²sin²α+2tsinα+8tcosα-7=0.?

∵Δ=(2sinα+8cosα)²+28sin²α=48+8sin(2α+)＞0,∴它的兩根t₁、t₂為AB對應(yīng)的參數(shù)值.?

(1)|PA|·|PB|=|t₁|·|t₂|=|t₁t₂|=

(α≠kπ,否則直線與拋物線只有一個交點)?

當sinα=±1時,|PA||PB|有最小值7,此時直線方程為x=-1.?

(2)若P為中點,則t₁+t₂=0,?

∴=0.∴k=tanα=-4.?

直線l的方程為4x+y+3=0.?

(3)為AB的三等分點,不妨設(shè)|PA|=2|PB|,?

即t₁=-2t₂,

∴t₁+t₂=-t₂,t₁t₂=-2t₂².?

∴-2(t₁+t₂)²=t₁t₂.?

由韋達定理知

=-2·,?整理得(3sinα+8cosα)(sinα+8cosα)=0.?

∴k₁=tanα₁=-,k₂=tanα₂=-8.?

故所求直線l的方程為8x+3y+5=0或8x+y+7=0.