Question

【題目】在如圖所示的多面體中， 平面， ， ， ， ， ， ， 是的中點．

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ） ．

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意可知， ， 兩兩垂直，以點為坐標原點， ， ， 分別為軸，建立空間直角坐標系，由已知得， ， 即證得（Ⅱ）由已知得是平面的法向量，設平面的法向量為， 計算得令，得 設平面與平面所成銳二面角的大小為，則 通過計算即得結果.

試題解析：

（Ⅰ）∵平面， 平面， 平面，

∴， ．又，

∴， ， 兩兩垂直．

以點為坐標原點， ， ， 分別為軸，

建立空間直角坐標系，

由已知得， ， ， ， ， ， ，

∴， ．

∴，∴．

（Ⅱ）由已知得是平面的法向量，

設平面的法向量為，

∵， ，

∴，即，令，得，

設平面與平面所成銳二面角的大小為，

則 ．

∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為．