Question

13．已知函數(shù)f（x）=px³+x²+4x（常數(shù)p≠0）在x=x₁處取得極大值M．
（1）當(dāng)M=-4時(shí)，求p的值；
（2）記f（x）=px³+x²+4x在x∈[-5，5]上的最小值為N，若N≥-5，求p的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)f′（x）=3px²+2x+4，從而可得$\left\{\begin{array}{l}{f′（{x}_{1}）=3p{x}_{1}^{2}+2{x}_{1}+4=0}\\{f（{x}_{1}）=p{{x}_{1}}^{3}+{{x}_{1}}^{2}+4{x}_{1}=-4}\end{array}\right.$，從而解得；
（2）①當(dāng)p＞0時(shí)，函數(shù)為“增-減-增”型函數(shù)，從而結(jié)合（1）可得0＜p≤$\frac{2}{27}$；
②當(dāng)p＜0時(shí)，函數(shù)為“減-增-減”型函數(shù)，從而可化為f（5）≥-5，且f（x₁）≥-5，從而解得．

解答 解：（1）∵f（x）=px³+x²+4x，
∴f′（x）=3px²+2x+4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（{x}_{1}）=3p{x}_{1}^{2}+2{x}_{1}+4=0}\\{f（{x}_{1}）=p{{x}_{1}}^{3}+{{x}_{1}}^{2}+4{x}_{1}=-4}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-2}\\{p=0}\end{array}\right.$（舍去），或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-6}\\{p=\frac{2}{27}}\end{array}\right.$；
故p=$\frac{2}{27}$．
（2）①當(dāng)p＞0時(shí)，函數(shù)為“增-減-增”型函數(shù)，
由（1）知，當(dāng)M=-4時(shí)，p=$\frac{2}{27}$，
該函數(shù)在x₂=-3時(shí)有極小值-5，
故當(dāng)p=$\frac{2}{27}$時(shí)，f（x）_min=-5，恰為臨界值；
要使N≥-5，則f（x₂）≥-5，
故0＜p≤$\frac{2}{27}$；
②當(dāng)p＜0時(shí)，函數(shù)為“減-增-減”型函數(shù)，
且f′（x）=3px²+2x+4，
易知方程f′（x）=0的兩根一正一負(fù)，
不妨設(shè)x₁＜0＜x₂，
∵f′（0）=4，f′（-5）=75p-6＜0，
故-5＜x₁＜0；
要使f（x）_min=N≥-5，
只需使f（5）≥-5，且f（x₁）≥-5，
解得，-$\frac{2}{5}$≤p＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問(wèn)題的解答方法，同時(shí)考查了分類(lèi)討論的思想．