Question

設等比數(shù)列{a_n}的公比q＞0，a₁=8，數(shù)列{b_n}滿足條件b_n=log₂a_n，若數(shù)列{b_n}的前n項和中S₇最大，且S₇≠S₈
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求出首項b₁和公差d的值．
（2）求數(shù)列{a_n}的公比q的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n=8q^n-1，得到b_n+1-b_n=log₂q，b₁=log₂8=3，由此證明數(shù)列{b_n}是以3為首項，log₂q為公差的等差數(shù)列．
（2）由（1）知b_n=3+（n-1）log₂q，由已知條件得b₇＞0，b₈＜0，由此能求出數(shù)列{a_n}的公比q的取值范圍．

解答： （1）證明：∵等比數(shù)列{a_n}的公比q＞0，a₁=8，∴數(shù)列為正項數(shù)列，
a_n=8q^n-1，
b_n=log₂a_n=log2(8qn-1)=3+（n-1）log₂q，
b_n+1=3+nlog₂q，
∴b_n+1-b_n=log₂q，b₁=log₂8=3，
∴數(shù)列{b_n}是以3為首項，log₂q為公差的等差數(shù)列．
（2）解：由（1）知b_n=3+（n-1）log₂q，
∵數(shù)列{b_n}的前n項和中S₇最大，且S₇≠S₈，
∴b₇＞0，b₈＜0，
由b₇＞0，得：3+（7-1）log₂q＞0，
整理，得2log₂q＞-1，log₂q＞-

1

2

，解得q＞

2

2

，
由b₈＜0，得3+（8-1）log₂q＜0，
整理，得log₂q＜-

3

7

，q＜（

1

2

） 

3

7

．
綜上，得

2

2

＜q＜（

1

2

） 

3

7

．

點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查等比數(shù)列的公比的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意對數(shù)性質(zhì)的合理運用．