Question

設(shè)A、B、C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，角C是銳角，若關(guān)于x的方程 x²-（2sinC）x+sinAsinB=0有兩個(gè)相等實(shí)根，且4sin²C+4cosC-5=0 求證：△ABC正三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：根據(jù)題意得到根的判別式等于0，列出關(guān)系式，利用正弦定理化簡(jiǎn)得到c²=ab，已知等式變形求出cosC的值，確定出C的度數(shù)，利用余弦定理列出關(guān)系式，把c²=ab代入得到a=b，即可確定出三角形形狀．

解答： 證明：∵關(guān)于x的方程x²-（2sinC）x+sinAsinB=0有兩個(gè)相等實(shí)根，
∴△=4sin²C-4sinAsinB=0，即sin²C=sinAsinB，
利用正弦定理化簡(jiǎn)得：c²=ab，
由4sin²C+4cosC-5=4-4cos²C+4cosC-5=0，即4cos²C-4cosC+1=0，
整理得：（2cosC-1）²=0，即cosC=

1

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，
∵C為銳角，
∴C=60°，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=ab，即（a-b）²=0，
可得a=b，
則△ABC為正三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，正弦、余弦定理，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．