Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，∠BAD=60°，AD=2，AC=2

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，E是PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PC⊥BD；
（Ⅱ）若四棱錐P-ABCD的體積為4，求DE與平面PAC所成的角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）先求出CD，可得四邊形ABCD為菱形，從而AC⊥BD，證明PA⊥BD，可得BD⊥平面PAC，即可證明PC⊥BD；
（Ⅱ）設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OE，證明∠DEO就是DE與平面P所AC成的角，即可求得結(jié)論．

解答： （Ⅰ）證明：∵在平行四邊形ABCD中，∠BAD=60°，
∴∠ADC=120°，
∴由余弦定理得CD²+2CD-8=0
解得CD=2，
∴四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD   
又PA⊥底面ABCD
∴PA⊥BD
∵PA∩AC=A
∴BD⊥平面PAC
∴PC⊥BD       …（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知BD=2，
∴V_P-ABCD=

1

3

•

1

2

AC•BD•PA=4，可得PA=2

3

…（8分）
設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OE
由（Ⅰ）知BD⊥平面PAC，
∴DE在平面PAC的射影為OE
∴∠DEO就是DE與平面P所AC成的角…（10分）
∵E是PC的中點(diǎn)，
∴OE=

1

2

PA=

3

∴在Rt△DOE中，tan∠DEO=

3

3

∴∠DEO=30°
即DE與平面PAC所成的角為30°…（12分）

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．