Question

17．已知等比數(shù)列{a_n}中，公比q=4，a₁•a₂•a₃…•a₃₀=4³⁰，那么a₁•a₄•a₇…a₂₈=4²⁷⁰．

Answer 1

分析 利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的求和公式、指數(shù)運(yùn)算法則可知${{a}_{1}}^{30}$=4^-15×27，通過(guò)數(shù)列{a_3n-2}是公比為4³的等比數(shù)列，計(jì)算可知所求值為${{a}_{1}}^{10}$•4^15×27，利用${{a}_{1}}^{10}$=$\root{3}{{{a}_{1}}^{30}}$代入計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：依題意，a₁•a₂•a₃…•a₃₀=${{a}_{1}}^{30}$•q^0+1+2+…+29
=${{a}_{1}}^{30}$•${4}^{\frac{30×（0+29）}{2}}$
=${{a}_{1}}^{30}$•4^15×29
=4³⁰，
∴${{a}_{1}}^{30}$=4^30-15×29=4^-15×27，
又∵數(shù)列{a_3n-2}是公比為4³的等比數(shù)列，
∴a₁•a₄•a₇…a₂₈=${{a}_{1}}^{10}$•q^0+3+6+…+27
=${{a}_{1}}^{10}$•${4}^{3•\frac{10×（0+27）}{2}}$
=${{a}_{1}}^{10}$•4^15×27，
又∵${{a}_{1}}^{10}$=$\root{3}{{{a}_{1}}^{30}}$=${4}^{\frac{-15×27}{3}}$=4^-5×27，
∴${{a}_{1}}^{10}$•4^15×27=4^-5×27•4^15×27=4²⁷⁰，
即a₁•a₄•a₇…a₂₈=4²⁷⁰，
故答案為：4²⁷⁰．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．