Question

數(shù)列{a_n}的前n項和是S_n，a₁=5，且a_n=S_n-1（n=2，3，4，…）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求證：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＜

3

5

•．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n=S_n-1，取n=n+1得到a_n+1=S_n，兩式作差后得到數(shù)列{a_n}從第二項起構成等比數(shù)列，求出其通項公式后驗證首項得答案；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

，利用分組求和然后放縮即可得到答案．

解答： （1）解：依題意得

an+1=Sn an=Sn-1，(n=2，3，4，…)

兩式相減得：
a_n+1-a_n=a_n，即

an+1

an

=2（n=2，3，4，…）．
∴a₂，a₃，a₄，…構成首項為a₂，公比為2的等比數(shù)列．
∵a₂=S₁=a₁=5，
∴a_n=5•2^n-2（n≥2）．
∴an=

5，          (n=1) 5•2n-2.    (n=2，3，4，…)

；
（2）證明：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=

1

5

+

1

5

+

1

5•2

+

1

5•22

+…+

1

5•2n-2

=

1

5

+

1

5

(1+

1

2

+

1

4

+…+

1

2n-2

)=

1

5

+

1

5

•

1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

=

1

5

+

2

5

[1-(

1

2

)n-1]＜

1

5

+

2

5

=

3

5

．

點評：本題考查了數(shù)列的遞推式，考查了等比關系的確定，訓練了分組求數(shù)列的前n項和，考查了放縮法證明數(shù)列不等式，是中高檔題．