Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ABB₁A₁為矩形，AB=1，AA₁=

2

，D為AA₁的中點(diǎn)，BD與AB₁交于點(diǎn)O，CO⊥側(cè)面ABB₁A₁．
（1）證明：BC⊥AB₁；
（2）若OC=OA，求點(diǎn)B₁到平面ABC的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）分別求得tan∠ABD和tan∠AB₁B，知∠AB₁B=∠ABD，進(jìn)而根據(jù)∠BAB₁+∠AB₁B=90°，∠BAB₁+∠ABD=90°，推斷出∠BAB₁+∠ABD=90°，即∠BOA=90°，即BD⊥AB₁，
由OC⊥側(cè)面ABB₁A₁，推斷出OC⊥AB₁，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的判定定理推斷出AB₁⊥平面BCD，進(jìn)而可知BC⊥AB₁．
（2）利用射影定理求得AO，則OC可知，進(jìn)而可求得三棱錐C-ABB₁的體積．利用勾股定理分別求得AC，BC的值，進(jìn)而求得三角形ABC的面積，利用等體積法求得點(diǎn)B₁到平面ABC的距離．

解答： （1）證明：∵側(cè)面ABB₁A₁為矩形，D為AA₁的中點(diǎn)，AB=1，AA₁=

2

，AD=

2

2

，
∴在直角三角形ABD中，tan∠ABD=

AD

AB

=

2

2

，
在直角三角形ABB₁中，tan∠AB₁B=

AB

BB1

=

2

2

，
∴∠AB₁B=∠ABD，
∵∠BAB₁+∠AB₁B=90°，
∴∠BAB₁+∠ABD=90°，
∴∠BAB₁+∠ABD=90°，即∠BOA=90°，即BD⊥AB₁，
∵OC⊥側(cè)面ABB₁A₁，
∴OC⊥AB₁，
∵OC∩BD=O，OC?平面BCD，BD?平面BCD，
∴AB₁⊥平面BCD，
∵BC?平面BCD，
∴BC⊥AB₁．
（2）解：∵在Rt△ABB₁中，BO⊥AB，
∴AB²=AO•AB₁，
∴A0=

AB2

AB1

=

1

3

=

3

3

，
∵OC=OA，
∴OC=

3

3

，
S_△ABB1=

1

2

•AB•BB₁=

1

2

×1×

2

=

2

2

，
∴V_C-ABB1=

1

3

OC•S_△ABB1=

1

3

×

3

3

×

2

2

=

6

18

，
∵OC=OA=

3

3

，
∴AC=

OC2+OA2

=

6

3

，OB=

AB2-OA2

=

6

3

，
BC=

OB2+OC2

=1，
∴S_△ABC=

6

3

×

30

6

×

1

2

=

5

6

，
設(shè)B₁到平面ABC的距離為d，
則V_B1-ABC=

1

3

•d•S_△ABC=

5

18

•d=V_C-ABB1=

6

18

，
∴d=

30

5

，即B₁到平面ABC的距離為

30

5

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面垂直的判定定理，點(diǎn)到面的距離的計(jì)算．在立體幾何中等體積法是求點(diǎn)到面的距離的一個(gè)常用方法．