Question

一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解某社區(qū)居民的月收入情況，從該社區(qū)成人居民中抽取10000人進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)所得信息制作了如圖所示的樣本頻率分布直方圖．

（Ⅰ）為了分析居民的收入與年齡、學(xué)歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進(jìn)一步調(diào)查，試求其中月收入在[2000，2500）（2000元至2500元之間）的人數(shù)；
（Ⅱ）為了估計(jì)從該社區(qū)任意抽取的3個(gè)居民中恰有2人月收入在[2000，3000）的概率P，特設(shè)計(jì)如下隨機(jī)模擬的方法：先由計(jì)算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，依次用0，1，2，3，…9的前若干個(gè)數(shù)字表示月收入在[2000，3000）的居民，剩余的數(shù)字表示月收入不在[2000，3000）的居民；再以每三個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表收入的情況．假設(shè)用上述隨機(jī)模擬方法已產(chǎn)生了表中的20組隨機(jī)數(shù)，請(qǐng)根據(jù)這批隨機(jī)數(shù)估計(jì)概率P的值．
907  966   191   925   271   932   812   458  569  683
431   257   393   027   556   488  730   113   537   989
（Ⅲ）任意抽取該社區(qū)的5位居民，用ξ表示月收入在[2000，3000）（元）的人數(shù)，求ξ的數(shù)學(xué)期望與方差．

Answer 1

考點(diǎn)：頻率分布直方圖,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（I）由頻率分布直方圖先算出月收入在[2000，2500）的頻率v，即可得出應(yīng)抽取的人數(shù)=100v；
（II）由頻率分布直方圖可知，月收入在[2000，3000）的頻率為0.4，因此 可以用數(shù)字0，1，2，3表示收入在[2000，3000）的居民，數(shù)字4，5，6，7，8，9表示月收入不在[2000，3000）的居民，再觀察上述隨機(jī)數(shù)得出要求的事件包括的基本事件的個(gè)數(shù)，再利用古典概型的定義即可得出；
（III）利用二項(xiàng)分布列的計(jì)算公式即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖可知：月收入在[2000，2500）的頻率=0.0002×500=0.1，
∴應(yīng)抽取的人數(shù)為0.1×100=10人．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖可知，月收入在[2000，3000）的頻率=0.0002×500+0.0006×500=0.4 
∴可以用數(shù)字0，1，2，3表示收入在[2000，3000）的居民，數(shù)字4，5，6，7，8，9表示月收入不在[2000，3000）的居民；
觀察上述隨機(jī)數(shù)可得，該社區(qū)3個(gè)居民中恰有2個(gè)月收入在[2000，3000）的有191，271，932，812，431，393，027，730，共有8個(gè)．
而基本事件一共有20個(gè)，根據(jù)古典概型的定義可知該社區(qū)3個(gè)居民中恰有2個(gè)月收入在[2000，3000）的概率為P=

8

20

=0.4．
（Ⅲ）由頻率分布直方圖可知，任意抽取該社區(qū)1位居民，月收入在[2000，3000）（元）的概率為0.4，
∴隨機(jī)變量ξ服從B（5，0.4），
∴Eξ=5×0.4=2，Dξ=5×0.4×（1-0.4）=1.2．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了頻率分布直方圖的有關(guān)知識(shí)、古典概型的計(jì)算公式、二項(xiàng)分布列、分層抽樣等在基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．