Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx+12在點（1，f（1））處的切線方程為9x+y-10=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）設函數(shù)f（x）在[0，m]（m＞0）上的最大值為g（m），求函數(shù)g（m）的最小值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）由已知得f′（x）=3ax²+b，

f′(1)=3a+b=-9 f(1)=a+b+12=1

，由此能求出a、b的值．
（Ⅱ）f′（x）=3x²-12=3（x²-4），由f′（x）＞0，得x＜-2或x＞2，由此利用分類討論思想結合導數(shù)性質能求出當m＞0時，g（m）有最小值12．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx+12在點（1，f（1））處的切線方程為9x+y-10=0，
∴f′（x）=3ax²+x，

f′(1)=3a+b=-9 f(1)=a+b+12=1

，
解得a=1，b=-12．
（Ⅱ）∵f′（x）=3x²-12=3（x²-4），
由f′（x）＞0，得x＜-2或x＞2，
∴f（x）在（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，
由f（0）=12，即x²-12x+12=12，得x=0，或x=±2

3

，
①當0＜m＜2

3

時，f（x）在（0，2）上單調遞遞，
在（2，m）上單調遞增，且f（0）＞f（m），
∴f（x）的最大值為f（0）=12．
②當m≥2

3

時，f（x）在（0，2）上單調遞遞，
在（2，m）上單調遞增，且f（0）≤f（m），
∴f（x）的最大值為f（m）=m²-12m+12，
∴g（x）=

12，0＜m＜2 3 m2-12m+12，m≥2 3

，
∵g（m）在[2

3

，+∞）上是增函數(shù)，
∴g（m）有最小值g（2

3

）=12，
綜上，當m＞0時，g（m）有最小值12．

點評：本題考查實數(shù)值的求法，考查函數(shù)的最小值的求法，解題時要認真審題，注意分類討論思想和導數(shù)性質的合理運用．