Question

已知函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=3x²-2x-1，f（0）=1
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)y=f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,導(dǎo)數(shù)的運算,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題意設(shè)f（x）=x³-x²-x+a，由f（0）=1，示出f（x）=x³-x²-x+1．
（2）當(dāng)f′（x）＞0時，x＜-

1

3

，或x＞1，當(dāng)f′（x）＜0時，-

1

3

＜x＜1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)y=f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵f′（x）=3x²-2x-1，
∴設(shè)f（x）=x³-x²-x+a，…（3分）
∵f（0）=1，∴a=1，∴f（x）=x³-x²-x+1．…（6分）
（2）當(dāng)f′（x）＞0時，x＜-

1

3

，或x＞1，
當(dāng)f′（x）＜0時，-

1

3

＜x＜1，
∴f（x）在區(qū)間（-1，-

1

3

），（1，2）內(nèi)單調(diào)遞增，在（-

1

3

，1）內(nèi)單調(diào)遞減…（9分）
∴f（x）_極大值=f（-

1

3

）=

32

27

，f（x）_極小值=f（1）=0，
又f（-1）=0，f（2）=3，
∴f（x）在[-1，2]上的最大值為f（2）=3，最小值為f（-1）=f（1）=0．…（12分）

點評：本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等．