Question

已知函數(shù)f(x)=-

1

a

+

2

x

，(a≠0)，
（I）解關(guān)于x的不等式f （x）＞0；
（II）若f（2^x）+2^x+1≥0在x∈R上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求不等式通分，轉(zhuǎn)化為二次不等式，通過對相應(yīng)方程的兩個根的大小的討論，求出不等式的解集．
（II）分離出參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用基本不等式求出新函數(shù)的最值，進(jìn)一步求出參數(shù)a的范圍．

解答：解：（I）-

1

a

+

2

x

＞ 0
即

-x+2a

ax

＞0
即ax（x-2a）＜0
當(dāng)a＞0時，不等式的解集為{x|0＜x＜2a}
當(dāng)a＜0時，不等式的解集為{x|x＜2a或x＞0}
（II）f（2^x）+2^x+1≥0在x∈R上恒成立
即-

1

a

+

2

2x

+2x+1≥0恒成立
即

1

a

≤

1

2x-1

+2x+1在x∈R上恒成立，
令y=

1

2x-1

+2x+1≥2

1 2x-1 •2x+1

=4
當(dāng)且僅當(dāng)2x+1=

1

2x-1

時取“=”
∴

1

a

≤4解得a∈(-∞，0)∪[

1

4

，+∞)

點評：求分式不等式，一般通過通分將其轉(zhuǎn)化為整式不等式，利用穿根的方法求出解集；解決不等式恒成立問題，一般分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值來解決．