【題目】已知函數(shù) .

(1)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)若,求證:.

【答案】(1)見解析;(2)見解析

【解析】

1)求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)后,通過兩種情況,確定的正負(fù),從而得到函數(shù)的單調(diào)性;(2)將問題轉(zhuǎn)化為證明:;設(shè),,只需證;通過求導(dǎo)運(yùn)算,可知,再通過零點(diǎn)存在定理,不斷確定的最值位置,從而證得,證得結(jié)論.

(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>

①若時(shí),則,上單調(diào)遞減;

②若時(shí),當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),

故在上,單調(diào)遞減;在上,單調(diào)遞増

(2)若,欲證

只需證

即證

設(shè)函數(shù),,則

當(dāng)時(shí),;故函數(shù)上單調(diào)遞增

所以

設(shè)函數(shù),則

設(shè)函數(shù),則

當(dāng)時(shí),

故存在,使得

從而函數(shù)上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),

故存在,使得

即當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),

從而函數(shù)上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減

因?yàn)?/span>

故當(dāng)時(shí),

所以

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