Question

10．已知f（x）=log₃$\frac{sinx-cosx}{sinx+cosx}$，則f（x）在區(qū)間[$\frac{5}{12}$π，$\frac{7}{12}$π]上的最小值為$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 令t=$\frac{sinx-cosx}{sinx+cosx}$，分x=$\frac{π}{2}$和x$≠\frac{π}{2}$求取t的范圍，然后利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得原函數(shù)的值域，則f（x）在區(qū)間[$\frac{5}{12}$π，$\frac{7}{12}$π]上的最小值可求．

解答 解：令t=$\frac{sinx-cosx}{sinx+cosx}$，x∈[$\frac{5}{12}$π，$\frac{7}{12}$π]，
當(dāng)x=$\frac{π}{2}$時(shí)，t=$\frac{sinx-cosx}{sinx+cosx}$=1，f（x）=g（t）=log₃t=log₃1=0；
當(dāng)x$≠\frac{π}{2}$時(shí)，t=$\frac{sinx-cosx}{sinx+cosx}$=$\frac{tanx-1}{tanx+1}=\frac{tanx+1-2}{tanx+1}=1-\frac{2}{tanx+1}$，
由x∈[$\frac{5}{12}$π，$\frac{π}{2}$）∪（$\frac{π}{2}$，$\frac{7}{12}$π]，得
tanx∈[$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$，+∞）∪（-∞，$\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}$]，
∴tanx+1∈∈[$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-3}$，+∞）∪（-∞，$\frac{2}{1-\sqrt{3}}$]，
則-$\frac{2}{tanx+1}$∈[$\frac{\sqrt{3}}{3}$-1，0）∪（0，$\sqrt{3}-1$]，
∴t∈[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）∪（1，$\sqrt{3}$]，
則log₃t∈[$-\frac{1}{2}$，0）∪（0，$\frac{1}{2}$]．
綜上，f（x）在區(qū)間[$\frac{5}{12}$π，$\frac{7}{12}$π]上的值域?yàn)閇$-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$]．
∴f（x）在區(qū)間[$\frac{5}{12}$π，$\frac{7}{12}$π]上的最小值為$-\frac{1}{2}$．
故答案為：$-\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查與三角函數(shù)有關(guān)的最值，考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，令t=$\frac{sinx-cosx}{sinx+cosx}$并求取t的范圍是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．