Question

20．已知在△ABC中，試證：$\frac{π}{3}$≤$\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}$＜$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 利用在△ABC中大角對大邊可知（a-b）（A-B）≥0、（b-c）（B-C）≥0、（c-a）（C-A）≥0，進而放縮、整理可知$\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}$≥$\frac{π}{3}$；利用在△ABC中兩邊之和大于的三邊可知a+b＞c、b+c＞a、c+a＞b，進而利用不等式的性質(zhì)、放縮、整理可知$\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}$＜$\frac{π}{2}$．

解答 證明：依題意在△ABC中大角對大邊，
故（a-b）（A-B）≥0，（b-c）（B-C）≥0，（c-a）（C-A）≥0，
展開得：aA+bB≥bA+aB，bB+cC≥cB+bC，cC+aA≥aC+cA，
∴aA+bB+bB+cC+cC+aA≥bA+aB+cB+bC+aC+cA，
∴（aA+bB+bB+cC+cC+aA）+（aA+bB+cC）≥（bA+aB+cB+bC+aC+cA）+（aA+bB+cC），
整理得：3（aA+bB+cC）≥（a+b+c）（A+B+C）=π（a+b+c），
即$\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}$≥$\frac{π}{3}$；
依題意在△ABC中兩邊之和大于的三邊，
故a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，
∴a+b+c＞2c，a+b+c＞2a，a+b+c＞2b，
∴（a+b+c）C＞2cC，（a+b+c）A＞2aA，（a+b+c）B＞2bB，
∴（a+b+c）（A+B+C）＞2（aA+bB+cC），
∴$\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}$＜$\frac{A+B+C}{2}$=$\frac{π}{2}$；
綜上所述，$\frac{π}{3}$≤$\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}$＜$\frac{π}{2}$．

點評 本題考查不等式的證明，利用三角形中大角對大邊、兩邊之和大于的三邊是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．