Question

在2010年的人口普查中，某市人中普查辦公室為召開普查工作意見反饋會，用分層抽樣的方法，從某住宅小區(qū)中抽取A、B、C、D四個年齡段的居民共50人．如圖是該小區(qū)這四個年齡段的人數(shù)條形圖．
（1）應從A、B、C、D四個年齡段中各抽取多少人？
（2）從這50人中再隨機抽取2人，求這2人恰好是不同年齡段的概率；
（3）從這50人屬于A、C兩個年齡段的居民中再隨機抽取3人，用ξ表示抽取的是A年齡段的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,分層抽樣方法

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由該小區(qū)A，B，C，D這四個年齡段的人數(shù)條形圖分別求出A、B、C、D各年齡段的人數(shù)，并求出四個年齡段的總?cè)藬?shù)，由此根據(jù)抽取A、B、C、D四個年齡段的居民共50人，能求出應從A、B、C、D四個年齡段中各抽取多少人．
（2）先求出從這50人中再隨機抽取2人，這2人恰好是相同年齡段的概率，再用對立事件的概率公式求出這2人恰好是不同年齡段的概率．
（3）由題設知ξ=0，1，2，3，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答： 解：（1）由該小區(qū)A，B，C，D這四個年齡段的人數(shù)條形圖知：
A年齡段有100人，B年齡段有200人，C年齡段有50人，D年齡段有150人，
共有100+200+50+150=500人，
∵抽取A、B、C、D四個年齡段的居民共50人，
∴應從A年齡段抽取

50

500

×100=10人，
應從B年齡段抽取

50

500

×200=20人，
應從C年齡段抽取

50

500

×50=5人，
應從A年齡段抽取

50

500

×150=15人，
即應從A、B、C、D四個年齡段中各抽取10人，20人，5人，15人．
（2）∵從A、B、C、D四個年齡段中各有10人，20人，5人，15人，
∴從這50人中再隨機抽取2人，這2人恰好是相同年齡段的概率：
P₁=

C 2 10 + C 2 20 + C 2 5 + C 2 15

C 2 50

=

2

7

，
∴這2人恰好是不同年齡段的概率：
P=1-P₁=1-

2

7

=

5

7

．
（3）A，C兩個年齡段共有10+5=15人，從中任取3人，ξ表示A年齡段中取到的人數(shù)，
則ξ=0，1，2，3，
P（ξ=0）=

C 0 10 C 3 5

C 3 15

=

10

455

=

2

91

，
P（ξ=1）=

C 1 10 C 2 5

C 3 15

=

100

455

=

20

91

，
P（ξ=2）=

C 2 10 C 1 5

C 3 15

=

225

455

=

45

91

，
P（ξ=3）=

C 3 10 C 0 5

C 3 15

=

120

455

=

24

91

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	2 91	20 91	45 91	24 91

Eξ=0×

2

91

+1×

20

91

+2×

45

45

+3×

24

91

=2．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，是中檔題，解題時要合理運用排列組合知識．